Question

【題目】設，為奇函數.

（1）求的值；

（2）若對任意恒有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由求出實數的值，求出函數的解析式，然后利用奇偶性的定義驗證函數為奇函數；

（2）分析出函數為增函數，結合奇函數的性質，由得出，由單調性得出對任意的恒成立，構造函數，對該二次函數的對稱軸與區間的位置關系進行分類討論，分析函數在區間上的單調性，得出最小值，然后解不等式可得出實數的取值范圍.

（1）因為函數為奇函數，且定義域為，故，所以.

故，所以，此時，，定義域為，關于原點對稱.

，則函數為奇函數；

（2）由（1）得，

則函數在上為減函數，由于函數為奇函數，

由，可得，則有.

，則該不等式對任意的恒成立，

構造函數，其中，則.

二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，下面分三種情況討論：

①當時，即時，函數在上單調遞增，

則函數的最小值為恒成立，，此時；

②當時，即時，函數在上單調遞減，

則函數的最小值為，解得，此時；

③當時，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則函數的最小值為，整理得，

解得，此時.

綜上所述，實數的取值范圍是.