Question

【題目】已知函數.

（1）討論的導函數零點的個數；

（2）若函數的最小值為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）先求出，則至少存在一個零點，討論的范圍，利用導數研究函數的單調性，結合單調性與函數圖象可得結果；（2）求出，分五種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間，利用函數的單調性，結合函數圖象可排除不合題意的的范圍，篩選出符合題意的的范圍.

試題解析：（1），

令，故在上單調遞增，

則，

因此，當或時，只有一個零點；

當或時，有兩個零點；

（2）當時，，則函數在處取得最小值，

當時，則函數在上單調遞增，則必存在正數，

使得，

若，則，函數在與上單調遞增，在上單調遞減，

又，故不符合題意.

若，則，函數在上單調遞增，

又，故不符合題意.

若，則，設正數，

則，

與函數的最小值為矛盾，

綜上所述，，即.