Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在點處的切線方程；

（2）當時，求函數的單調遞增區間；

（3）當時，證明： （其中為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3)證明見解析

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義得到 ；（2）對函數求導，分類討論導函數的正負，得到單調區間；（3）由 知需證明.，對函數求導，研究函數的最值即可。

解析：

（1）當時， ，

∴

∴在點處的切線方程是.

（2）的定義域為

當，即當時，由解得或

當時， ，

當，即當時，由解得或

綜上：當時， 的單調遞增區間是，

當時， 的單調遞增區間是

當時， 的單調遞增區間是，

（3）當時，由 知需證明

令 ，

設，則

當時， ， 單調遞減

當時， ， 單調遞增

∴當時， 取得唯一的極小值，也是最小值

的最小值是

另解：證明（“”不能同時成立）