Question

【題目】已知函數是定義在上的奇函數.

（1）求函數的解析式；

（2）求不等式的解集；

（3）若在上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由是定義在上的奇函數，得，再由奇函數的性質，得，列出方程組求出a、b的值即可；

（2）先利用函數單調性的定義判斷出f（x）的單調性，再解不等式即可；

（3）由題意轉化為，且，令，構造在上遞減，在上遞增，即可求得的取值范圍.

（1）已知函數是定義在上的奇函數，得，解得，所以.

又，解得，所以.

（2）設x1，x2是R上的任意兩個值，且x1＜x2，有

因為x1＜x2，又g（x）＝2x為R上的單調增函數，所以，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函數f（x）為R上的單調增函數．

由不等式，得，

即，解得，得或.

所以不等式的解集為.

（3）因為在上有兩個零點，所以，

得，，令，

則在上遞減，在上遞增，所以，，.則.