Question

【題目】已知f(x)＝ex－ax－1.

（1）求f(x)的單調增區間；

（2）若f(x)在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當a≤0時，f(x)的單調增區間為(－∞，＋∞)；當a>0時，f(x)的單調增區間為(lna，＋∞)．（2）(－∞，0]．

【解析】試題分析：（1），根據其導函數的解即的情況討論的符號，即得其單調區間；（2）若在定義域內單調遞增,則恒成立，所以恒成立，即即得的取值范圍.

試題解析：（1）∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.當a≤0時，f′(x)>0在R上恒成立；當a>0時，有x≥ln a．綜上，當a≤0時，f(x)的單調增區間為(－∞，＋∞)；當a>0時，f(x)的單調增區間為(ln a，＋∞)．

（2）由（1）知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上單調遞增，

∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立．

∵x∈R時，ex>0，∴a≤0，

即a的取值范圍是(－∞，0]．