Question

（2003•崇文區(qū)一模）過點(diǎn)（0，2）的直線l與拋物線y²=-4（x+2）僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線l共有

3

條．

Answer 1

分析：由題意可得，直線的斜率應(yīng)該存在．設(shè)直線方程為 y-2=k（x-0），代入拋物線方程由△=0，解得 k有2個(gè)值，故和拋物線相切的直線有2條．當(dāng)k=0時(shí)，直線和x軸平行，也滿足直線l與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，從而得出結(jié)論．

解答：解：由題意可得，直線的斜率應(yīng)該存在．
設(shè)直線的斜率等于k，直線方程為 y-2=k（x-0），代入拋物線y²=-4（x+2），
可得 k²x²+（4k+4）x+8=0．
若直線和拋物線相切，則有△=（4k+4）²-32k²=0，解得 k=1±

3

，故和拋物線相切的直線有2條．
當(dāng)k=0時(shí)，直線和x軸平行，也滿足直線l與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
故滿足條件的直線共有3條，
故答案為 3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，直線和與拋物線相切的條件，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出滿足條件的直線的斜率，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．