Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，，．

（1）若為的中點，證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）推導出，，，，由此能證明平面．

（2）法一：取的中點，連結，取中點，連結，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

法二：取的中點，連結，，推導出，，平面，則，從而為二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．

證明：（1）∵，，

∴，

∵，∴，

∵，為的中點，∴，

又，∴平面．

解：（2）解法一：取的中點，連結，取中點，連結，

∵，，∴，

又為的中點，∴，

由（1）知平面平面，平面平面，

∴平面，

以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖，

由題意知，，，

，，

設平面的法向量，

則，令，得，

平面的法向量，，

由圖知二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．

解法二：取的中點，連結，，

∵為的中點，∴，又，∴，

由（1）知平面，則，

∴為二面角的平面角，

∵，，，∴，

又，則，

∴，即二面角的余弦值為．