Question

【題目】已知為坐標原點，點，，過點作的平行線交于點.設點的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）已知直線與圓相切于點，且與曲線相交于，兩點，的中點為，求三角形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意知，可知軌跡為橢圓，寫出方程即可（Ⅱ）直線的斜率存在且不為0，利用直線與圓相切得，聯立直線與橢圓，利用根與系數關系寫出PQ中點N坐標寫出PQ中垂線方程，利用圓心到直線的距離求出，化簡求其最值，代入三角形面積公式即可求解.

（Ⅰ）因為，

故，

所以，

故，

由題設得，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：.

（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，

設直線的方程為，

因為直線與圓相切，

所以，∴，

由消去得.

設，由韋達定理知：

.

所以中點的坐標為，

所以弦的垂直平分線方程為，

即 .

所以.

將代入得

（當且僅當，即時，取等號）.

所以三角形的面積為，

綜上所述，三角形的面積的最大值為.