Question

設函數f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t³+t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）對于區間[-1，1]中的某個t，是否存在實數a，使得不等式g（t）≤

4a

1+a2

成立？如果存在，求出這樣的a及其對應的t；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數轉換公式化簡f（x），在用配方法得出函數的最簡式，即可得出函數g（x）的表達式
（2）求出g（x）的導數，畫出表格判斷函數的單調性即可求出函數的最值，g（t）≤

4a

1+a2

成立，即

4a

1+a2

≥g（t）的最大值，求出a的范圍．

解答：解：（1）f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故當sinx=t時，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我們有g'（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g'（t）	+	0	-	0	+
G（t）	↗	極大值g（- 1 2 ）	↘	極小值g（ 1 2 ）	↗

由此可見，g（t）在區間（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）單調增加，在區間（-

1

2

，

1

2

）單調減小，極小值為g（

1

2

）=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值為2
注意到：對任意的實數a，

4a

1+a2

=

4

a+ 1 a

∈[-2，2]
當且僅當a=1時，

4a

1+a2

=2，對應的t=-1或

1

2

，
故當t=-1或

1

2

時，這樣的a存在，且a=1，使得g（t）≥

4a

1+a2

成立．
而當t∈（-1，1]且t≠

1

2

時，這樣的a不存在．

點評：該題考查函數的求導，以及利用函數的導數判斷函數的單調性進而求出函數的最值，還考查了三角函數的公式的利用，以及恒成立問題．