Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-

π

2

，0），求tan2x；
（2）設(shè)△ABC的三邊a，b，c依次成等比數(shù)列，試求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用f（x）=0，可求x的值，進(jìn)而可得tan2x的值；
（2）根據(jù)△ABC的三邊a，b，c依次成等比數(shù)列，可得b²=ac，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，可確定B的范圍，進(jìn)而可得f（B）的取值范圍．

解答：解：（1）∵向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），
∴f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∵f（x）=0，∴sin（2x+

π

6

）=-

1

2

∵x∈（-

π

2

，0），∴2x+

π

6

∈(-

5

6

π，

π

6

），
∴2x+

π

6

=-

π

6

∴x=-

π

6

，
∴tan2x=-

3

；
（2）∵△ABC的三邊a，b，c依次成等比數(shù)列，
∴b²=ac
由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

1

2

∴0＜B≤

π

3

，
∴

π

6

＜2B+

π

6

≤

5π

6

∴

1

2

≤sin（2B+

π

6

）≤1
∴2≤f（B）≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)，考查等比數(shù)列，考查余弦定理與基本不等式的運(yùn)用，化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．