Question

【題目】直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AA1=AB=1，點O1、O分別是上下底菱形對角線的交點．
（1）求證：A1O∥平面CB1D1；
（2）求點O到平面CB1D1的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OA和CO，

在四邊形OCOA中，OC∥AO且AO=OC，

∴四邊形AOCO為平行四邊形，

∴AO∥OC

又OC平面CBD，AO平面CBD，

∴AO∥平面CBD

（2）解：由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，可得B1D1⊥平面O1OC，

∵B1D1平面CB1D1，

∴平面CB1D1⊥平面O1OC，

設點O到平面CB1D1的距離為h，則△O1OC中，OC= ，O1O=1，

∴O1C= = ，

由等面積可得h= = ，

∴點O到平面CB1D1的距離為 ．

【解析】（1）連結OA和CO，證明四邊形AOCO為平行四邊形，可得AO∥OC，利用線面平行的判定定理證明A1O∥平面CB1D1；（2）先證明出平面CB1D1⊥平面O1OC，利用等面積求點O到平面CB1D1的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．