Question

設函數f（x）=ax²+e^x（a∈R）有且僅有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a滿足f（x₁）=e 

2

3

x₁？如存在，求f（x）的極大值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求導，求出f（x）的單調性，求出參數的取值范圍．
（2）根據f（x₁）=e 

2

3

x₁，和f（x）=ax²+e^x（a∈R）得到R（x）=

ex

x

-

1

2

ex-e

2

3

（0＜x＜1），利用導數，確定函數f（x₁）的單調性，從而確定最值，即可求得答案．

解答： 解：（1）f′（x）=2ax+e^x．
顯然a≠0，x₁，x₂是直線y=-

1

2a

與曲線y=g（x）=

x

ex

兩交點的橫坐標
由g′（x）=

1-x

ex

=0，得x=1．列表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	g（x）max= 1 e	↘

此外注意到：
當x＜0時，g（x）＜0；
當x∈[0，1]及x∈（1，+∞）時，g（x）的取值范圍分別為[0，

1

e

]和（0，

1

e

）．
于是題設等價于0＜-

1

2a

＜

1

e

⇒a＜-

e

2

，故實數a的取值范圍為（-∞，-

e

2

）
（2）存在實數a滿足題設．證明如下：
由（1）知，0＜x₁＜1＜x₂，f′（x₁）=2ax₁+ex1=0，
故f（x₁）=ax12+ex1=ex1-

x1

2

ex1=e 

2

3

x₁，故

ee1

x1

-

1

2

ex1-e

2

3

=0
記R（x）=

ex

x

-

1

2

ex-e

2

3

（0＜x＜1），則R′(x)=

ex(x-1)

x2

-

1

2

ex＜0，
于是，R（x）在（0，1）上單調遞減．
又R（

2

3

）=0，故R（x）有唯一的零點x=

2

3

．
從而，滿足f（x₁）=e 

2

3

x的x₁=

2

3

．所以，a=-

3

4

e

2

3

，
此時f（x）=-

3

4

e

2

3

x2+ex，f′(x)=-

3

2

e

2

3

x+ex，
又f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，而x₁=

2

3

∈（0，1），
故當a=-

3

4

e

2

3

時，f（x）_極大=f（x₁）=

2

3

e

2

3

．

點評：本題考查了利用導數求函數的極值，研究函數的零點問題，利用導數研究函數的單調性，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．解題時要注意運用極值點必定是導函數對應方程的根，而導函數對應方程的根不一定是極值點．屬于中檔題．