Question

已知拋物線C：，過C上一點M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線．
（Ⅰ）若C在點M的法線的斜率為-，求點M的坐標（x，y_^）；
（Ⅱ）設P（-2，a）為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P？若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切線和法線垂直，則其斜率之積等于-1，可得M處的切線的斜率k=2，再根據導數的幾何意義，結合已知即可求得點M的坐標；
（2）設M（x，y_^）為C上一點，分x=-2和x≠-2兩種情況討論，結合題意和導數的幾何意義可得到等量關系（x+2）²=a，然后再分a＞0，a=0，a＜0三種情況分析，即可求解．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，M處的切線的斜率k==2，
∵y′=2x+4，
∴2x+4=2，解得x=-1，
將x=-1代入中，解得y=，
∴M（-1，）；
（Ⅱ）設 M（x，y_^）為C上一點，
①若x=-2，則C上點M（-2，-）處的切線斜率 k=0，過點M（-2，-） 的法線方程為x=-2，此法線過點P（-2，a）；
②若 x≠-2，則過點 M（x，y_^）的法線方程為：y-y=-（x-x） ①
若法線過P（-2，a），則 a-y=-（-2-x），即（x+2）²=a  ②
若a＞0，則x=-2±，從而y=，將上式代入①，
化簡得：x+2y+2-2a=0或x-2y+2+2a=0，
若a=0與x≠-2矛盾，若a＜0，則②式無解．
綜上，當a＞0時，在C上有三個點（-2+，），（-2-，）及
（-2，-），在這三點的法線過點P（-2，a），其方程分別為：
x+2y+2-2a=0，x-2y+2+2a=0，x=-2．
當a≤0時，在C上有一個點（-2，-），在這點的法線過點P（-2，a），其方程為：x=-2．
點評：本題通過曲線的切線和法線問題，考查了導數的運算和幾何意義，同時綜合運用了分類討論的數學思想，難度較大．