Question

已知拋物線C：，過C上一點M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線．

（1）若C在點M的法線的斜率為，求點M的坐標（x₀，y₀）；

（2）設P（－2，a）為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P？若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

M（－1，）（2）當a＞0時，有三個點（－2＋，），（－2－，）及（－2，－）；法線過點P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2；

 a≤0時，有一個點（－2，－）法線過點P（－2，a），其方程為：x＝－2。

【解析】（1）由題意設過點M的切線方程為：，代入C得，

則，∴，

即M（－1，）．

（2）當a＞0時，假設在C上存在點滿足條件．設過Q的切線方程為：，代入，則，

且．當時，由于，

∴ 或  ；當k=0時，顯然也滿足要求．

∴有三個點（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），

且過這三點的法線過點P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.

當a≤0時，在C上有一個點（－2，－），在這點的法線過點P（－2，a），其方程為：x＝－2.

考點：拋物線與直線相切。

點評：在解決拋物線與直線相切的問題時，一般聯立直線方程與拋物線方程，得關于x的一元二次方程，然后利用方程有唯一解，△=0來求解。