Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，

若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I）證明見解析              

　（II）存在．

解析:

（I）設，由知，點C的軌跡為．  2分

由消y得：．

設，，則，，          

所以，

所以，于是．              

　（II）假設存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為．

由消x得：．設，，

則，．                         

因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，

所以即，  

所以得，所以存在．