Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E為AA₁的中點(diǎn)，O為BD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：EO∥平面ABCD；
（Ⅲ）設(shè)P為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上一點(diǎn)，給出滿足條件OP=

2

的點(diǎn)P的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)?nbsp;A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，利用面面垂直的性質(zhì)推斷出平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）連接BD，AC，設(shè)BD∩AC=G，連接0G．因 為ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，進(jìn)而可知 AE∥DD₁，且AE=

1

2

DD₁，且G是BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镺是BD₁的中點(diǎn)，
所以 OG∥DD₁，且OG=

1

2

DD₁，所以 OG∥AE，且OG=AE，即四邊形AGOE是平行四邊形，所以O(shè)E∥AG，又因?yàn)?nbsp;EO?平面ABCD，AG?平面ABCD．所以EO∥平面ABCD．
（Ⅲ）解：因根據(jù)ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，AA₁=2，所以 求得AC=，所以求得 OE=AG．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)?nbsp;AA₁⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，
判斷出 AA₁⊥AG，又因?yàn)?nbsp;EO∥AG，所以 AA₁⊥OE，則點(diǎn)O到棱AA₁的距離為，所以在棱AA₁上有且只有一個點(diǎn)（即中點(diǎn)E）到點(diǎn)O的距離等于，同理，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁每條棱的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離都等于，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上使得OP=

2

的點(diǎn)P有12個．所以在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上使得OP=

2

的點(diǎn)P有12個．

解答： （Ⅰ）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，
∴平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）證明：連接BD，AC，設(shè)BD∩AC=G，連接0G．

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴AE∥DD₁，且AE=

1

2

DD₁，且G是BD的中點(diǎn)，
又因?yàn)镺是BD₁的中點(diǎn)，
∴OG∥DD₁，且OG=

1

2

DD₁，
∴OG∥AE，且OG=AE，
即四邊形AGOE是平行四邊形，
所以O(shè)E∥AG，
又∵EO?平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以EO∥平面ABCD．
（Ⅲ）解：滿足條件OP=

2

的點(diǎn)P有12個．
理由如下：
因?yàn)?nbsp;ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，AA₁=2，
所以 AC=2

2

．
所以 OE=AG=

1

2

AC=

2

．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因?yàn)?nbsp;AA₁⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以 AA₁⊥AG，
又因?yàn)?nbsp;EO∥AG，
所以 AA₁⊥OE，
則點(diǎn)O到棱AA₁的距離為

2

，
所以在棱AA₁上有且只有一個點(diǎn)（即中點(diǎn)E）到點(diǎn)O的距離等于

2

，
同理，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁每條棱的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離都等于

2

，
所以在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上使得OP=

2

的點(diǎn)P有12個．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理．考查了學(xué)生分析推理的能力．