Question

【題目】已知圓的圓心在直線上，且圓經過曲線與軸的交點.

(1)求圓的方程；

(2)已知過坐標原點的直線與圓交兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】試題分析：

（1）先求出曲線與軸的交點為，再根據圓心在直線，由待定系數法可求得圓的方程為．（2）由題意設直線的方程為，代入圓方程消去整理得，設，由根與系數的關系可得．又由，得，消去后可解得或，從而可得到直線方程．

試題解析：

（1)在中，

令，得，

解得或，

所以曲線與軸的交點坐標為．

設圓的方程為，

依題意得，

解得，

所以圓的方程為．

(2)解法一：

由題意知直線的斜率顯然存在，故設直線的斜率為，則直線的方程為．

由消去整理得

，

因為直線與圓交兩點，

所以．

設，

則

因為，

所以，

所以

解得或，

經檢驗得或滿足，

所以直線的方程為或.

解法二：

如圖取的中點，連接，

則

設

由，得

由

所以

解得

所以圓心到直線的距離等于2，

設直線的方程為，即

所以，

解得或，

所以直線的方程為或.

解法三：

設直線的傾斜角為,則直線的參數方程為 (為參數)．

把代入并整理得：

設對應的參數分別為，

則

因為，

所以，，

所以

所以，

所以

所以，

所以或

所以直線的方程為或.