Question

【題目】已知函數f（x）=（x2﹣x﹣ ）eax（a＞0）．
（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）若存在唯一實數x0 ， 使得f（x0）+ =0成立，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數y=f（x）的定義域為R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]eax．

令f′（x）=0，得x=1，x=﹣ ＜0，

當x∈（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（﹣v，1）時，f′（x）＜0．

∴函數f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）上遞增，在∈（﹣ ，1）遞減．

注意到x＜﹣ ，x2﹣x﹣ ＞0，f（1）=﹣ ＜0．

∴函數y=f（x）的最小值為f（1）=﹣

（2）解：存在唯一實數x0，使得f（x0）+ =0成立函數y=f（x）圖象與y=﹣ ＜（﹣ 0）有唯一交點，

結合（1）可得函數f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）上遞增，在∈（﹣ ，1）遞減．

注意到x＜﹣ ，x2﹣x﹣ ＞0，f（1）=﹣ ＜0．

∴當且僅當﹣ 時，存在唯一實數x0，使得f（x0）+ =0成立，

即a=ln3時，存在唯一實數x0，使得f（x0）+ =0成立

【解析】（1）函數y=f（x）的定義域為R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]eax ． 利用導數可得函數f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）上遞增，在∈（﹣ ，1）遞減．注意到x＜﹣ ，x2﹣x﹣ ＞0，f（1）=﹣ ＜0．即函數y=f（x）的最小值為f（1）（2）存在唯一實數x0 ， 使得f（x0）+ =0成立函數y=f（x）圖象與y=﹣ ＜（﹣ 0）有唯一交點，結合圖象且僅當﹣ 時，存在唯一實數x0 ， 使得f（x0）+ =0成立，
即可求得實數a的值．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．