Question

甲、乙兩名運動員為了爭取得到2016年巴西奧運會的最后一個參賽名額，共進行了7輪比賽，得分情況如莖葉圖所示．
（Ⅰ）根據莖葉圖分別甲、乙兩名運動員中哪位的比賽成績更為穩定？
（Ⅱ）若分別從甲、乙兩名運動員的7輪比賽不低于80且不高于90的得分中任選1個，求甲、乙兩名運動員得分之差的絕對值ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）用公式計算甲、乙運動員的平均分與方差，比較后可得結論；
（II）確定ξ的可能取值，計算相應的概率，從而可得ξ的分布列與期望．

解答： 解：（Ⅰ）甲運動員的平均分

.

x甲

=

78+81+84+85+84+85+91

7

=84，
方差s_甲²=

(78-84)2+(81-84)2+(84-84)2+(85-84)2+(84-84)2+(85-84)2+(91-84)2

7

=

96

7

；
乙運動員的平均分

.

x乙

=

79+84+84+86+87+84+91

7

=85，
方差s_乙²=

(79-84)2+(84-84)2+(84-84)2+(86-84)2+(87-84)2+(84-84)2+(91-84)2

7

=

87

7

；
∵

87

7

＜

96

7

，
∴乙運動員的比賽成績更為穩定．
（2）設甲、乙兩名運動員的得分分別為x，y，則得分之差的絕對值為ξ=|x-y|．
顯然，由莖葉圖可知，ξ的可能取值為0，1，2，3，5，6．
當ξ=0時，x=y=84，故P（ξ=0）=

C 1 2 C 1 3

C 1 5 C 1 5

=

6

25

；
當ξ=1時，x=85，y=84或y=86，故P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 1 5 C 1 5

=

8

25

；
當ξ=2時，x=84，y=86或x-85，y=87，故P（ξ=2）=

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

+

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

4

25

；
當ξ=3時，x=81，y=84或x=84，y=87，故P（ξ=3）=

C 1 1 C 1 3

C 1 5 C 1 5

+

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

5

25

=

1

5

；
當ξ=5時，x=81，y=86，故P（ξ=5）=

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

；
當ξ=6時，x=81，y=87，故P（ξ=6）=

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	5	6
P	6 25	8 25	4 25	1 5	1 25	1 25

Eξ=0×

6

25

+1×

8

25

+2×

4

25

+3×

1

5

+5×

1

25

+6×

1

25

=

42

25

點評：本題考查平均數與方差的計算，莖葉圖，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定的取值，計算概率是關鍵．