Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點，點F在棱AB上，且AB=4AF．
（1）求證：EF∥平面BDC₁；
（2）求證：BC₁⊥平面B₁CE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取AB的中點M，因為AB=4AF，所以F為AM的中點，進而根據三角形中位線定理，及平行四邊形的性質得到EF∥BD，進而由線面平行的判定定理，得到EF∥平面BDC₁；
（2）連接CE，B₁E，B₁C，根據等邊三角形三線合一及直棱柱的幾何特征，結合面面垂直的判定定理，可得C₁D⊥B₁E，進而四邊形ABB₁A₁為正方形，BD⊥B₁E，進而可得B₁E⊥面C₁DB，即BC₁⊥B₁E，又因為在正方形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C，結合線面垂直的判定定理可得BC₁⊥面B₁CE．

解答： 證明：（1）取AB的中點M，
因為AB=4AF，
所以F為AM的中點，
又因為E為AA₁的中點，
所以EF∥A₁M，…（2分）
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分別為A₁B₁，AB的中點，

所以A₁D∥BM，且A₁D=BM，
則四邊形A₁DBM為平行四邊形，
所以A₁M∥BD，
所以EF∥BD，…（5分）
又因為BD?平面BDC₁，EF?平面BDC₁，
所以，EF∥平面BDC₁ …（7分）
（2）連接CE，B₁E，B₁C，
因為在正三角A₁B₁C₁中，D為A₁B₁的中點，
所以，C₁D⊥A₁B₁，
所以，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁D⊥面ABB₁A₁，
所以，C₁D⊥B₁E，
因為AA₁=AB，
所以，四邊形ABB₁A₁為正方形，由D，E分別為A₁B₁，AA₁的中點，
所以，可證得BD⊥B₁E，

所以，B₁E⊥面C₁DB，即BC₁⊥B₁E，…（11分）
又因為在正方形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C，所以BC₁⊥面B₁CE，…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理和性質定理，難度不大，屬于中檔題．