Question

（本小題滿分13分）
如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)是2，D是側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為45°.

(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
(2)求平面ABD與平面CBD夾角的余弦;
(3)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.

Answer 1

（1）
（2）
（3）

解析解：（1）設(shè)正三棱柱—的側(cè)棱長(zhǎng)為．取中點(diǎn)O，連AO．
是正三角形，
又底面側(cè)面，且交線為．

連OD，則直線與側(cè)面所成的角為
在中，AO=OD,,解得．   
此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為．                        ……………………5分
（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

則．
設(shè)為平面的法向量．
由 得．
取 又平面的一個(gè)法向量                         
．即為所求.
…………10分
（3）由（Ⅱ）解法2，
點(diǎn)到平面的距離
＝．                       …………13分