Question

【題目】設函數.

（1）當時，對于一切，函數在區間內總存在唯一零點，求的取值范圍；

（2）若區間上是單調函數，求的取值范圍；

（3）當，時，函數在區間內的零點為，判斷數列，，…，，…的增減性，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），，…，，…是遞增數列，理由見解析.

【解析】

（1）當時，化簡在區間內有唯一零點及函數的單調性可知且；從而可得對于恒成立且，從而求得的取值范圍；

（2）由在區間，上是單調函數，利用單調性的定義可設，從而化為或對于恒成立，化為恒成立問題解得．

（3）當，時，，，

從而可得；再由得，

從而可得，

可證明；再由函數在區間，上是增函數知；從而證明．

（1）當時，在區間內有唯一零點，

因為函數在區間上是增函數，

所以且；

即且，

由對于恒成立得；

所以的取值范圍為.

（2）在區間上是單調函數，設，

，

由題知或對于恒成立，

因為，

所以或.

（3）數列，，…，，…是遞增數列，證明如下：

當，時，，，

在區間上的零點是，

所以；

由知，，

所以，

設在區間上的零點為，

所以，

即；

又函數在區間上是增函數，

所以；

即數列，，…，，…是遞增數列.