Question

【題目】定義：若數列中存在，其中，，，，及均為正整數，且（），則稱數列為“數列”.

（1）若數列的前項和，求證：是“數列”；

（2）若是首項為1，公比為的等比數列，判斷是否是“數列”，說明理由；

（3）若是公差為（）的等差數列且（），，求證：數列是“數列”.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是“數列”；（3）證明見解析.

【解析】

（1）取特殊值，即可判斷；

（2）利用反證法，設假設是“數列”，則存在，由絕對值不等式的性質可得，即假設不成立，得證；

（3）由等差數列前項和公式及通項公式，分情況取特殊值即可.

解：（1）由數列的前項和，所以，所以是“數列”；

（2）不是“數列”，理由如下：假設是“數列”，則存在，其中且及均為正整數，且（）， 因為，則，

所以，

所以，與假設矛盾，即假設不成立；

（3）任取中的項，其各項的和構成的集合為，

下面證明，

因為，所以，即，

若，則取，得，

若，則前項和為

取，有，即，

綜上：數列是“數列”.