Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁及公差d都是實數，且滿足

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，則d的取值范圍是

(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：首先根據等差數列的前n項和公式化簡

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，得（2a₁+d）（2a₁+3d）+（a₁+d）²=-2，將此式看作關于a₁的一元二次方程，利用△≥0 去求d的取值范圍．

解答：解：∵

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，由等差數列的前n項公式得（2a₁+d）（2a₁+3d）+（a₁+d）²=-2，
展開并化簡整理得5a₁²+10a₁d+4d²+2=0，將此式看作關于a₁的一元二次方程，d為系數．
∵a₁、d為實數，∴△=100d²-4×5×（4d²+2 ）≥0．化簡整理得d²-2≥0，
∴d∈（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）
故答案為：（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）

點評：本題考查等差數列的前n項公式，一元二次方程根存在的判定，一元二次不等式的解法．本題的關鍵是用方程的眼光看待 5a₁²+10a₁d+4d²+2=0．