Question

在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、．設直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；

（3）若圓的面積為，求圓的方程．

Answer 1

【解】（1）設橢圓E的焦距為2c（c>0），

因為直線的傾斜角的正弦值為，所以，

于是，即，所以橢圓E的離心率    

…………4分

（2）由可設，，則，

于是的方程為：，

故的中點到的距離，         …………………………6分

又以為直徑的圓的半徑，即有，

所以直線與圓相切．                                  …………………………8分

（3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而，      …………………………10分

設的中點關于直線：的對稱點為，

則                            …………………………12分

解得．

所以，圓的方程為．          …………………………14分