Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) ; (2)定值是4,詳見解析;
(3)存在, 的坐標(biāo)為,的面積為.

解析試題分析：(1)根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、離心率和的關(guān)系求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的;(2)先設(shè)，求出直線的方程，并求出它們與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，建立三點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，然后利用在橢圓上，從而把中的消去得到定值; (3)先假設(shè)存在點(diǎn)，則有直線與圓相交，進(jìn)而寫出的面積函數(shù)，發(fā)現(xiàn)利用基本不等式可以求出函數(shù)的最大值，故假設(shè)存在,再求出取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析：解：（1）由題意：，解得：             3分
所以橢圓                                4分
(2) 由（1）可知,設(shè),              
直線:,令,得;              5分
直線:,令,得;              6分
則,                          7分
而,所以,
所以             8分
(3)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則，即
設(shè)圓心到直線的距離為，則，且    9分
所以             10分
所以       11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/2/1vz1g4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以
所以  12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值
由，解得       13分
所以存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為

此時(shí)的面積為                   14分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，、2解析法，3、直線與圓相交問題.