Question

已知曲線y＝(a－3)x³＋ln x存在垂直于y軸的切線，函數f(x)＝x³－ax²－3x＋1在[1,2]上單調遞增，則a的取值范圍為________．

Answer 1

(－∞，0]

由已知條件可得方程y′＝3(a－3)x²＋＝0(x＞0)，即3(a－3)x³＋1＝0有大于0的實數根，即得x³＝－＞0，解得a＜3，又由函數f(x)＝x³－ax²－3x＋1在[1,2]上單調遞增，可得不等式f′(x)＝3x²－2ax－3≥0在[1,2]上恒成立，即得a≤在[1,2]上恒成立，由函數y＝x－在[1,2]上單調遞增可得，該函數的最小值為0，∴a≤0，綜上可得實數a的取值范圍為(－∞，0]．