Question

【題目】已知函數
（1）設a＞1，試討論f（x）單調性；
（2）設g（x）=x2﹣2bx+4，當 時，任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），

= ，

令f'（x）=0，則x1=1， （a＞1，x2＜0）舍去．

令f'（x）＞0，則x＞1，令f'（x）＜0，則0＜x＜1，

所以當x∈（1，+∞）時，函數f（x）單調遞增；當x∈（0，1）時，函數f（x）單調遞減

（2）解：當 時，

由（1）可知f'（x）=0的兩根分別為x1=1，

令f'（x）＞0，則0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，則1＜x＜3

可知函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，

所以對任意的x1∈（0，2），有 ，

由條件知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以 即存在x2∈[1，2]，使得 ，

分離參數即得到 在x∈[1，2]時有解，

由于 （x∈[1，2]）為減函數，故其最小值為 ，

從而 ，所以實數b的取值范圍是

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）根據函數的單調性得到f（x1）≥f（1）=﹣ ，問題轉化為存在x2∈[1，2]，使得 ，分離參數即得到 在x∈[1，2]時有解，求出b的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．