Question

【題目】已知函數.

（1）當時，討論極值點的個數；

（2）若函數有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值點，且是唯一極值點；（2）

【解析】

（1）將代入，求導得到在上單調遞減，則在上存在唯一零點，進而可判斷出是的極大值點，且是唯一極值點；
（2）令，得到，則與的圖象在上有2個交點，利用導數，數形結合即可得到的取值范圍.

解：（1）由知.

當時，，，顯然在上單調遞減.

又，，

∴在上存在零點，且是唯一零點，

當時，；

當時，，

∴是的極大值點，且是唯一極值點.

（2）令，則.

令，，

則和的圖象在上有兩個交點，

.

令，則，

所以在上單調遞減，而，

故當時，，即，單調遞增；

當時，，即，單調遞減.

故.

又，當且時，且，

結合圖象，可知若和的圖象在上有兩個交點，只需，

所以的取值范圍為.