Question

已知O為坐標原點，

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數），若y=

OA

•

OB

（1）求y關于x的函數關系式f（x）；
（2）若f（x）的最大值為2，求a的值；
（3）利用（2）的結論，用“五點法”作出函數f（x）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖，并指出其單調區間．

Answer 1

分析：（1）把

OA

和

OB

的坐標，代入函數解析式，利用向量積的運算求得函數解析式．
（2）利用二倍角公式對函數解析式化簡整理，利用正弦函數的性質表示出函數的最大值，求得a．
（3）利用（2）中的函數解析式，根據正弦函數的單調性求得函數的單調增區間和減區間．

解答：解：（1）∵

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x+a)
∴y=

OA

•

OB

=2cos2x+

3

sin2x+a

（2）由（1）得y=2cos2x+

3

sin2x+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=cos2x+

3

sin2x+a+1
=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)+a+1
=2(sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x)+a+1
=2sin(2x+

π

6

)+a+1
當sin(2x+

π

6

)=1時，y_max=2+a+1=3+a
又∵y_max=2
∴3+a=2
∴a=-1

（3）由（2）得，y=2sin(2x+

π

6

)
增區間是：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)，
減區間是：[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，二倍角的化簡求值，平面向量的數量積的運算．考查了對三角函數基礎知識的綜合應用．