Question

已知O為坐標原點，對于函數f（x）=asinx+bcosx，稱向量

OM

=(a，b)為函數f（x）的伴隨向量，同時稱函數f（x）為向量

OM

的伴隨函數．記

ON

=(1，

3

)的伴隨函數為h（x），則使得關于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]內恒有兩個不相等實數解的實數t的取值范圍是

[

3

，2)

．

Answer 1

分析：由題意可得，h（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），由 0≤x≤

π

2

，可得

π

3

≤x+

π

3

≤

5π

6

．故函數y=2sinθ，θ∈[

π

3

，

5π

6

]，和函數 y=t有2個交點，數形結合可得t的范圍．

解答：解：由題意可得，h（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），由關于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]內恒有兩個不相等實數解，
可得函數h（x）的圖象和直線y=t在[0，

π

2

]內恒有兩個不同的交點．
由 0≤x≤

π

2

，可得

π

3

≤x+

π

3

≤

5π

6

．
故函數y=2sinθ，θ∈[

π

3

，

5π

6

]，和函數 y=t有2個交點，故有

3

≤t＜2，
即t的范圍為[

3

，2），
故答案為[

3

，2）．

點評：本題主要考查函數的零點和方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．