Question

已知O為坐標原點，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F，以OF為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點O的兩點A、B，若（

AO

+

AF

）•

OF

=0，則雙曲線的離心率e為（　　）

• A．2
• B．3
• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：先畫出圖形，如圖，設OF的中點為C，則

AO

+

AF

=

1

2

AC

，由題意得AC⊥OF，根據三角形的性質可得AC=AF，又AF=OF，從而得出△AOF是正三角形，即雙曲線的漸近線的傾斜角為60°，得出a，b的關系式，即可求出雙曲線的離心率e．

解答：解：如圖，設OF的中點為C，則

AO

+

AF

=

1

2

AC

，
由題意得，

1

2

AC

•

OF

=0，∴AC⊥OF，
∴AC=AF，
又AF=OF，
∴△AOF是正三角形，∴∠AOF=60°，
即雙曲線的漸近線的傾斜角為60°，∴

b

a

=tan60°，b=

3

a，
則雙曲線的離心率e為

c

a

=

a2+b2

a

=2．
故選A．

點評：本題給出以雙曲線右焦點F為圓心的圓過坐標原點，在已知若（

AO

+

AF

）•

OF

=0的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題．