Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂, |PF₁|=,  |PF₂|=.  
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線L過圓的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程。

Answer 1

解法一：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a="3.    "  …….2分
在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,
從而b²=a²－c²="4,                     " ………………………………………….5分
所以橢圓C的方程為＝1      ………………………………………….7分
(Ⅱ)設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.  由圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.  從而可設直線l的方程為  y=k(x+2)+1,       ….9分
代入橢圓C的方程得 （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27="0.        " ….12分
因為A，B關于點M對稱.  所以  解得，
所以直線l的方程為  即8x-9y+25="0.  " (經檢驗，符合題意) ….14分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.
設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且
                                                          ①
                                                          ②
由①－②得                ③
因為A、B關于點M對稱，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,
代入③得＝，即直線l的斜率為，
所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經檢驗，所求直線方程符合題意.)

略