Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）設b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N^*，求證：數列{b_n}是等比數列，并求其通項公式；
（3） 求數列{a_n}前100項中的所有奇數項的和S．

Answer 1

解：（1），，，
（2）b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2=a_2n+2-2（2n+2）+4（n+1）-2
=
∴數列{b_n}是公比為的等比數列．
又∵，∴
（3）由（2）得
∴s=a₁+a₃+…+a₉₉=1-[+]-4（1+2+…+49）+2×49
=-4802
分析：（1）分別將n=1，2，3，4代入到a_n+1=中即可得到a₂，a₃，a₄，a₅的值．
（2）先仿照b_n=a_2n+1+4n-2可得到b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2，然后進行整理即可得到b_n+1=b_n，從而可求出數列{b_n}的通項公式．
（3）先根據（2）中{b_n}的通項公式求出，進而代入即可得到s=a₁+a₃+…+a₉₉
=1-[+]-4（1+2+…+49）+2×49，再結合等比數列和等差數列的前n項和的公式即可得到答案．
點評：本題主要考查等比數列的證明和數列求和的組合法．考查等差數列和等比數列的前n項和的公式的運用．