Question

某學生在觀察正整數的前n項平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

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，n∈N^*時發現它的和為關于n的三次函數，于是他猜想：是否存在常數a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)(n+2)(an+b)

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．對于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2 時猜想成立，求實數a，b的值．
（2）若該同學的猜想成立，請你用數學歸納法證明．若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先假設存在符合題意的常數a，b，由n=1，n=2構造個方程求出a，b即可，
（2）再用用數學歸納法證明其是否成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，即1•2²+2•3²++k（k+1）²=

k(k+1)

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（3k²+11k+10），再遞推到n=k+1時，成立即可．

解答：證明：（1）若n=1，2 時猜想成立，
假設存在符合題意的常數a，b，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=

n(n+1)(n+2)(an+b)

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中，
令n=1，得4=

1

2

（a+b）①
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，對于對于一切正整數n猜想都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用數學歸納法證明：對于一切正整數n，（*）式都成立．
（1）當n=1時，由上述知，（*）成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=

k(k+1)

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（3k²+11k+10），
那么當n=k+1時，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=

k(k+1)

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（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

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（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

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[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，當n=k+1時，（*）式也成立．
綜上所述，當a=3，b=5時題設的等式對于一切正整數n都成立．

點評：本小題主要考查數學歸納法、數列的求和、存在性問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．