Question

某學(xué)生在觀察正整數(shù)的前n項(xiàng)平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=，n∈N^*時(shí)發(fā)現(xiàn)它的和為關(guān)于n的三次函數(shù)，于是他猜想：是否存在常數(shù)a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=．對(duì)于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2 時(shí)猜想成立，求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若該同學(xué)的猜想成立，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)歸納法證明．若不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（1）若n=1，2 時(shí)猜想成立，
假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=中，
令n=1，得4=（a+b）①
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，對(duì)于對(duì)于一切正整數(shù)n猜想都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，（*）式都成立．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上述知，（*）成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=（3k²+11k+10），
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=（3k²+5k+12k+24）
=[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式也成立．
綜上所述，當(dāng)a=3，b=5時(shí)題設(shè)的等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立．
分析：（1）先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，由n=1，n=2構(gòu)造個(gè)方程求出a，b即可，
（2）再用用數(shù)學(xué)歸納法證明其是否成立，證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，即1•2²+2•3²++k（k+1）²=（3k²+11k+10），再遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的求和、存在性問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．