Question

某地區原有森林木材存量為a,且每年的增長率為25%,因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為b,設a_n表示n年后該地區森林木材的存量.

(1)求a_n的表達式;

(2)為保護生態環境,防止水土流失,該地區每年的森林木材量應不少于a,如果b=a,那么該地區今后會發生水土流失嗎?若會,需要經過幾年(取lg2=0.30)?

Answer 1

思路分析:本題依題意先計算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,歸納猜想第n年后該地區森林木材的存量,并用數學歸納法加以證明.由題意知該地區若發生水土流失,則森林木材存量必須小于a,建立起a_n＜a的不等式,解之就可求得相應的n值.

解:(1)設第一年的森林木材存量為a₁,第n年后的森林木材存量為a_n,

∴a₁=a(1+)-b=a-b,

a₂=a₁-b=(a-b)-b=()²a-(+1)b,

a₃=a₂-b=()³a-［()²++1］b,

由上面的a₁,a₂,a₃推測:a_n=()ⁿa-［()^n-1+()^n-2+…++1］b=()ⁿa-4［()ⁿ-1］b(n∈N^*).

證明:①當n=1時,a₁=a-b,已證推測成立.

②假設n=k時,a^k=()^ka-4［()^k-1］b成立,則當n=k+1時,

a_k+1=a_k-b={()^ka-4［()^k-1］b}-b=()^k+1a-4［()^k+1-1］b.

也就是說當n=k+1時,公式也成立.

由①②知對n∈N^*,公式成立.

(2)當b=a時,若該地區今后發生水土流失,則森林木材存量必小于a,

∴()ⁿa-4［()ⁿ-1］a＜a,即()ⁿ＞5.

兩邊取對數得nlg＞lg5,n＞≈7.

∴經過6年后該地區開始水土流失.