Question

某地區(qū)原森林木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)a_n為n年后該地區(qū)森林木材存量
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）的結(jié)果，推測(cè)a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；
（3）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于

7

9

a，如果b=

19

72

a，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？（取lg2≈0.30）

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a₁=

5

4

a-b，同理可求得a₂=(

5

4

)2a-（

5

4

+1）b，a₃=(

5

4

)3a-[(

5

4

)2+

5

4

+1]b；
（2）由（1）可推測(cè)a_n=(

5

4

)na-[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+

5

4

+1]b=(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]b（n∈N^*），利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（3）依題意知，(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]×

19

72

a＜

7

9

a⇒(

5

4

)n＞5，兩邊取對(duì)數(shù)即可求得n的近似值．

解答：解：（1）a₁=a（1+

1

4

）-b=

5

4

a-b，
a₂=

5

4

a₁-b=

5

4

（

5

4

a-b）-b=(

5

4

)2a-（

5

4

+1）b，
a₃=

5

4

a₂-b=(

5

4

)3a-[(

5

4

)2+

5

4

+1]b，
（2）由（1）可推測(cè)
a_n=(

5

4

)na-[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+

5

4

+1]b
=(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]b（n∈N^*）．
證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a（1+

1

4

）-b=

5

4

a-b，已證推測(cè)成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k=(

5

4

)ka-4[(

5

4

)k-1]b（k∈N^*）成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1=

5

4

a_k-b=

5

4

{(

5

4

)ka-4[(

5

4

)k-1]b}-b
=(

5

4

)k+1a-4[(

5

4

)k+1-1]b，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，推測(cè)也成立．
由①②知，對(duì)n∈N^*推測(cè)成立．
（3）當(dāng)b=

19

72

a時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則森林木材存量必須少于

7

9

a，
∴(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]×

19

72

a＜

7

9

a，
即(

5

4

)n＞5．
兩邊取對(duì)數(shù)得：nlg

5

4

＞lg5，n＞

lg5

lg5-2lg2

=

1-lg2

1-3lg2

≈7，
∴經(jīng)過(guò)8年后該地區(qū)就開(kāi)始水土流失．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和，突出考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題．