Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，函數f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（1）求函數f（x）的最小正周期T及單調增區間；
（2）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A為銳角，a=2

3

，c=4且f（A）是函數f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標表示出

m

+

n

的坐標，然后利用平面向量的數量積運算法則計算，列出函數f（x）的解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數的最小正周期；由正弦函數的單調增區間為]2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數f（x）的單調增區間；
（2）將x=A代入（1）中確定出的f（x）解析式中，根據A的范圍，得出這個角的范圍，利用正弦函數的值域確定出f（x）的值域，得到f（A）取得最大值時A的度數，進而得出sinA和cosA的值，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將a，c及cosA的值代入求出c的值，再由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，

3

2

），
∴f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin（2x-

π

6

）+2，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
則函數f（x）的單調增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）由（1）得f（A）=sin（2A-

π

6

）+2，
∵A∈[0，

π

2

]，∴2A-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2A-

π

6

）≤1，即

5

2

≤f（A）≤3，
∴當2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，f（A）的最大值為3，
又a=2

3

，c=4，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：12=b²+16-4b，即b²-4b+4=0，
整理得：（b-2）²=0，解得：b=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，平面向量的數量積運算，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．