Question

【題目】已知f（x）是二次函數，若f（0）=0且f（x+1）﹣f（x）=x+1，求函數f（x）的解析式，并求出它在區間[﹣1，3]上的最大、最小值．

Answer 1

【答案】解：∵f（0）=0，∴可設二次函數f（x）=ax2+bx（a≠0）．∵f（x+1）﹣f（x）=x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）﹣[ax2+bx]=x+1，
化為（2a﹣1）x+a+b﹣1=0．
此式對于任意實數x恒成立，因此 ，解得 ．
∴ ．
∵ ．
∴函數f（x）在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增．
∵f（﹣1）=0， ，f（3）=6．
∴函數f（x）在區間[﹣1，3]上的最大、最小值分別為6，
【解析】由于f（0）=0，可設二次函數f（x）=ax2+bx（a≠0）．利用f（x+1）﹣f（x）=x+1，可得a（x+1）2+b（x+1）﹣[ax2+bx]=x+1，
化為（2a﹣1）x+a+b﹣1=0．此式對于任意實數x恒成立，因此 ，解出即可．通過配方即可得出其單調性，進而得出最值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．