Question

(本小題滿分16分)
已知函數(shù)，，.
（1）當時，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，試求的取值范圍；
（2）當時，直接寫出（不需給出演算步驟）函數(shù) （）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）如果存在實數(shù)，使函數(shù)，（）在
 處取得最小值，試求實數(shù)的最大值.

Answer 1

（1）（2）時，增區(qū)間，時，減區(qū)間 （3）

試題分析：（1）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)
（2）當時，在上是增函數(shù)；
當時，在上是增函數(shù).
（3），
根據(jù)題意，在區(qū)間上恒成立，
即成立
整理得：，
即  ①
當時，不等式①恒成立；
當時，不等式①可化為   ②
令，
根據(jù)題設(shè)條件，的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間端點取得，又，所以不等式②恒成立的條件是
即，變量分離得：，③
由條件，存在實數(shù)使得③有解，所以，
即，整理得，解得：
又，所以，即實數(shù)的最大值是.
點評：本題第三問難度較大，對于學生沒有明顯的區(qū)分度