Question

【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．
（Ⅰ）求證：BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；
（Ⅲ）在線段CC1上是否存在點P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，

∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD為正方形．

∵BD平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．

∵A1C平面A1AC，

∴BD⊥A1C．

（Ⅱ）解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz．

則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），

C1（0，2，4），D1（0，0，4），

∵ =（2，0，0）， =（0，2，﹣4）．

設平面A1D1C的法向量 =（x1，y1，z1）．

∴ ．即 ，

令z1=1，則y1=2．∴ =（0，2，1）．

由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量為 =（2，2，0）

∴cos＜ ＞= = ．

∵二面角A﹣A1C﹣D1為鈍二面角，

∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值為﹣ ．

（Ⅲ）解：設P（x2，y2，z2）為線段CC1上一點，且 = ．

∵ =（x2，y2﹣2，z2）， =（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．

∴（x2，y2﹣2，z2）=λ（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．

即 ．

∴P（0，2， ）．

設平面PBD的法向量 ．

∵ ， ，

∴ ．即 ．

令y3=1，得 =（﹣1，1，﹣ ）．

若平面A1CD1⊥平面PBD，則 =0．

即2﹣ =0，解得 ．

所以當 = 時，平面A1CD1⊥平面PBD

【解析】（Ⅰ）由已知條件推導出BD⊥AA1，BD⊥AC，從而得到BD⊥平面A1AC，由此能證明BD⊥A1C．（Ⅱ） 以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．（Ⅲ）設P（x2，y2，z2）為線段CC1上一點，且 = ，利用向量法能求出當 = 時，平面A1CD1⊥平面PBD．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的性質和直線與平面垂直的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行．