Question

已知方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）若方程C表示圓，求實數m的范圍；
（2）在方程表示圓時，該圓與直線l：x+2y-4=0相交于M、N兩點，|MN|=

4

5

5

，求m的值；
（3）在（2）的條件下，定點A（1，0），P在線段MN上運動，求直線AP的斜率取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由D²+E²-4F＞0，即可求得實數m的范圍；
（2）利用圓心（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離公式可求得圓心到直線距離d，利用圓的半徑、弦長之半、d構成的直角三角形即可求得m的值；
（3）將圓的方程與直線l的方程聯立可求得M，N的坐標，利用k_AM，k_AN即可求得直線AP的斜率取值范圍．

解答：解：（1）由D²+E²-4F＞0，得4+16-4m＞0，所以m＜5…（4分）
（2）∵（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圓心（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離d=

1

5

，
又圓（x-1）²+（y-2）²=5-m的半徑r=

5-m

，
|MN|=

4

5

5

，
所以(

2 5

5

)2+(

1

5

)2=5-m，得m=4…（8分）
（3）聯立

x2+y2-2x-4y+4=0 x+2y-4=0

，解得M（0，2），N（

8

5

，

6

5

），…（12分）
而點A（1，0），
∴k_AM=-2，k_AN=2
∴k≥2或k≤-2…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線間的距離公式，考查方程思想與邏輯思維能力，屬于中檔題．