Question

已知圓C：x²+(y-1)²=5，直線l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；
（Ⅱ）設l與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點P（1，1）分弦AB為，求此時直線l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）證明：圓的圓心為C（0，1），半徑為， ∴圓心C到直線l：mx-y+1-m=0的距離， ∴直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個不同交點。
（Ⅱ）解：當M與P不重合時，連結CM、CP，則CM⊥MP， ∴， 設，則， 化簡得：， 當M與P重合時，x=1，y=1也滿足上式； 故弦AB中點的軌跡方程是。
（Ⅲ）解：設，由，得， ∴，化簡得，① 又由消去y得，，（*） ∴，   ② 由①②解得：， 帶入（*）式解得：m=±1， ∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0。