Question

已知拋物線C：x²=y和定點P(1，2)，A，B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數。
(Ⅰ)求證：直線AB的斜率是定值；
(Ⅱ)若拋物線C在A，B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
(Ⅲ)若A′與A關于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)設點A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）(x_A≠x_B)，直線PA的斜率為k(k≠0)，則直線PB的斜率為-k，
∴PA的直線方程為y-2=k(x-2)，
由消y，得，
因為點P在曲線C上，所以，由韋達定理，得，，
∴，同理，
則。
(Ⅱ)設點M(x，y)，則由y=2x²，得y′=4x，
所以直線M的方程為：y-y_A=4x_A(x-x_A)，①
同理直線MB的方程為：y-y_B=4x_B(x-x_B)，②
由①②，得，③
把③代入①整理，得，
所以，動點M的軌跡方程為x=-1（y＜2）。
(Ⅲ)由已知，，
∴，
則直線A′B的方程為，
即，
令x=0，整理得，
即直線A′B與y軸交點P的縱坐標取值范圍是（-∞，2）。