如圖，在空間直角坐標系O-xyz中，正四棱錐P-ABCD的側棱長與底邊長都為
，點M，N分別在PA，BD上，且
．
（1）求證：MN⊥AD；
（2）求MN與平面PAD所成角的正弦值．
（1）詳見解析，（2）
解析試題分析：（1）首先表示正四棱錐各點坐標，再準確把垂直關系的判定轉化為對應向量數量積為零，利用坐標形式進行計算，（2）直線與平面所成的角的計算，關鍵仍是平面的法向量的計算.利用向量垂直列出方程組，可解出法向量；再利用數量積，根據法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值求直線與平面所成角的正弦值. 由于直線與平面所成角與法向量與直線方向向量的夾角不是相等或互補關系，而是互余或相差
因此直線與平面所成角的正弦值等于法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值，這是本題易錯點.
試題解析：（1）因為正四棱錐
的側棱長與底邊長都為.
2分
則
則
4分
5分
（2）設平面
的法向量為
由
得
取
得
7分
則
9分
設
與平面所成角為
則
所以與平面所成角的正弦值為 10分
考點：向量數量積，向量垂直，直線與平面所成角.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，
垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC,PB的中點.
(Ⅰ)求證:PB⊥DM;
(Ⅱ)求點B到平面PAC的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖1,矩形
中,
,
,
、
分別為
、
邊上的點,且
,
,將
沿
折起至
位置(如圖2所示),連結
、
、
,其中
.
(Ⅰ)求證:
平面
；
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點，AF=3．
（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F,G,H分別為BP,BE,PC的中點。
（Ⅰ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅱ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1＝
，M是線段B1D1的中點．
(1)求證：BM∥平面D1AC；
(2)求證：D1O⊥平面AB1C；
(3)求二面角B-AB1-C的大小．
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中，
為
的中點.
∥
；
的體積.
中，四邊形
為菱形，
，四邊形
為矩形，若
，
，
.
面
；
的余弦值；
中，已知
是棱
的中點．
平面
，
∥平面
；