Question

已知命題p：函數y=（a-1）^x在R上單調遞增；命題q：不等式x+|x-3a|＞1的解集為R，若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：首先，結合條件p∨q為真，p∧q為假，命題P和命題q必為一真一假，然后，分為：命題P真q假和命題P假q真，兩種情形進行討論即可．

解答：解：若p真，則a-1＞1⇒a＞2
q真?x+|x-3a|＞1恒成立，
設h（x）=x+|x-3a|，
則h（x）_min＞1，
∵h(x)=

2x-3a 3a

x≥3a x＜3a

，
易知h（x）_min=3a3a＞1，即a＞

1

3

，
∵p∨q為真，p∧q為假，
∴命題P和命題q必為一真一假，
下面分命題P真q假和命題P假q真，兩種情形進行討論：
（1）若p真q假，則a＞2且a≤

1

3

，矛盾  
（2）若p假q真，則a≤2且a＞

1

3

⇒

1

3

＜a≤2，
綜上可知，a的取值范圍是(

1

3

，2]

點評：本題重點考查命題的真假判斷，復合命題的真假判斷方法，理解邏輯聯結詞“且”“或”形式的命題的真假判斷方法是解題關鍵，屬于中檔題．