Question

【題目】已知F1 ， F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵△ABF2是正三角形， ∴∠AF2B=60°，
∵直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，
∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1= ×60°=30°，
Rt△AF2F1中，設(shè)|AF1|=m，sin30°= ，
∴|AF2|=2m，|F1F2|=
因此，橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c= m
∴橢圓的離心率為e= = ．
故答案為：

根據(jù)△ABF2是正三角形，且直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，得到F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°．在Rt△AF2F1中，設(shè)|AF1|=m，可得 ，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|= m，得到橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c= m，所以橢圓的離心率為e= = ．