Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面⊥平面， ，

是等邊三角形， ， .

（Ⅰ）證明：平面⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（I）證明：在中，利用勾股定理得到,進而即可證明平面，即可得到結論；

（II）根據題意，建立空間直角坐標系，求解平面的法向量, 確定平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.

試題解析：（I）證明：在中，由于, , ,

,故.

又 ，

，

，

又，

故平面平面

（II）法1:如圖建立空間直角坐標系， , , , .

設平面的法向量,

由

令則, 則.

易得平面的一個法向量為，

則，

則所求余弦值為.

法2:由（I）知，

則過點作，連接，

則為線段的中點，則,

則，則為二面角

的平面角，

在直角三角形中，

，則