Question

【題目】已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)滿足：對任意實數x，都有f(x)≥x，且當x∈(1,3)時，有f(x)≤ (x＋2)2成立．

(1)證明：f(2)＝2；

(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表達式；

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】

（1）由f（x）≥x得f（2）≥2因為當x∈（1，3）時，有f（x）≤成立，所以f（2）≤=2．從而求得f（2）的值即可；

（2）由得出a，b，c的關系式，于是f（x）=ax2+x+1﹣4a，結合f（x）≥xax2﹣x+1﹣4a≥0．結合方程的思想求得a值即可得出f（x）的表達式．

證明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．

因為當x∈（1，3）時，有f（x）≤成立，所以f（2）≤=2．

所以f（2）=2．

解：（2）由得

從而有b=，c=1﹣4a．于是f（x）=ax2+x+1﹣4a．

f（x）≥xax2﹣x+1﹣4a≥0．

若a=0，則﹣x+1≥0不恒成立．

所以即解得a=．

當a=時，f（x）=

滿足f（x）≤．

故f（x）=．